더움바다의 일상

오늘은 함수의 극값에 대해 알아보겠습니다. 함수의 극값은 절대 극값(최댓값, 최솟값)과 국소 극값(극댓값, 극솟값)으로 구분할수 있습니다. 최댓값과 최솟값 (절대 극값) 함수의 최댓값이란 함수가 취할 수 있는 가장 큰 값, 최솟값은 가장 작은 값을 의미합니다. 이들은 함수의 전체 정의역에서 찾아집니다. 예를 들어, 함수 f(x) = -x^2의 최댓값은 0인 반면, 이 함수의 최솟값은 없습니다. 왜냐하면 x 값이 무한대로 갈수록 함수 값이 무한대로 감소하기 때문입니다. 반대로 함수 f(x) = x^2의 최솟값은 0이고, 이 함수의 최댓값은 없습니다. 구간이 있는 경우의 함수에서는 다음과 같습니다 f(x) = x^2 구간이 [0, 7]이고 연속일때 최솟값: 0 최댓값: 49 ( f(7) = 7^2 = 49 ..

오늘은 미분의 선형화에 대해 알아보겠습니다. 미분의 선형화는 주어진 함수를 그것의 접선을 사용하여 근사하는 과정을 말합니다. 함수 f가 x=a에서 미분이 가능할때, 다음과 같이 정의됩니다. L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) 여기서 L(x)는 선형 근사 함수이고, f'(a)는 함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수(기울기)입니다. L(x)는 다음과 같이 표현하기도 합니다. f(x) ≒ L(x) 증명 미분의 선형화를 증명하기 위해, 테일러 정리(Taylor's Theorem)를 사용합니다. 테일러 정리는 함수의 근사에 대한 일반적인 결과로, 함수를 다항식으로 근사하는 데 사용합니다. 함수 f(x)가 n번 미분 가능하고, n+1번째 미분이 존재한다고 가정한다면, 테일러 정리에 따라 다음과 같이 표..

이번 글에서는 삼각함수 미분 공식 증명을 설명하겠습니다. 미분 공식을 모아둔 글은 다음 링크에 있습니다. [미적분] 미분공식 [미적분] 미분공식 이 글에서는 미분 공식의 기초를 살펴보고, 기본 공식부터 삼각함수의 미분 공식까지 알아보겠습니다. 기본 미분 공식: 미분의 정의에 따라, 함수 f(x)의 도함수를 f'(x) 또는 df/dx로 표기합니다. web-story.tistory.com 사인(sin) 함수 미분 증명 먼저 사인 함수의 미분에 대해 살펴보겠습니다. sin(x)의 미분을 구하기 위해, sin(x + h) - sin(x)를 h에 대해 정리해보겠습니다. sin(x + h) - sin(x) = 2 * cos((x + h + x) / 2) * sin(h / 2) 위의 식을 h로 나누고, h가 0에 근..

이번 글에서는 연쇄 미분 공식의 증명을 살펴보겠습니다. 연쇄 미분 공식의 정의는 다음과 같습니다. 함수 g와 함수 h의 합성함수인 f(x) = g(h(x))가 있을 때, f'(x)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. f'(x) = g'(h(x)) * h'(x) 이제 증명을 해보겠습니다. 먼저, f(x) = g(h(x))의 정의를 사용하여, x와 x + Δx 사이의 f(x)의 변화를 나타내는 f(x + Δx) - f(x)를 구하면 다음과 같습니다. f(x + Δx) - f(x) = g(h(x + Δx)) - g(h(x)) 이제 위 식을 Δx로 나눈 후, Δx가 0에 가까워질 때의 극한을 구하면 다음과 같습니다.. lim (Δx -> 0) [(g(h(x + Δx)) - g(h(x))) / Δx] 이 극한은 ..

오늘은 기본적인 미분공식의 증명에 대해 설명하겠습니다. 대표적인 미분 공식들은 다음 글에 있습니다. [미적분] 미분공식 [미적분] 미분공식 이 글에서는 미분 공식의 기초를 살펴보고, 기본 공식부터 삼각함수의 미분 공식까지 알아보겠습니다. 기본 미분 공식: 미분의 정의에 따라, 함수 f(x)의 도함수를 f'(x) 또는 df/dx로 표기합니다. web-story.tistory.com 합의 미분 공식 합의 미분 공식은 두 함수의 합의 미분이 각 함수의 미분의 합과 같다는 것을 나타냅니다. (g(x) + h(x))' = g'(x) + h'(x) 증명: f'(x) = lim(h->0) [(g(x+h) + h(x+h)) - (g(x) + h(x))]/h = lim(h->0) [(g(x+h) - g(x))/h + (..