더움바다의 일상

📘 공분산과 상관관계: 두 변수 간의 관계 분석공분산(Covariance)과 상관계수(Correlation Coefficient)는 두 변수 간의 관계를 계량적으로 설명할 수 있는 대표적인 통계 지표이다. 이 글에서는 이 두 개념의 정의, 수식, 해석, 그리고 실제 예제를 중심으로 두 지표를 비교 설명한다.1. 공분산(Covariance)의 정의 및 해석공분산은 두 확률 변수 간의 함께 변화하는 정도(co-movement)를 측정하는 지표이다.표본 공분산은 다음과 같이 정의된다:$\mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)$$..

1. 정의F분포(F-Distribution)는 두 독립적인 카이제곱분포를 각각 자유도로 나눈 값의 비율로 정의되는 확률분포입니다. F분포는 주로 분산분석(ANOVA)와 회귀분석에서 모델 간의 분산 차이를 비교할 때 사용됩니다.수학적 정의는 다음과 같습니다:\[F = \frac{\frac{X_1}{d_1}}{\frac{X_2}{d_2}}\]여기서:- \( X_1 \sim \chi^2(d_1) \): 자유도 \( d_1 \)를 가지는 카이제곱분포를 따르는 확률변수.- \( X_2 \sim \chi^2(d_2) \): 자유도 \( d_2 \)를 가지는 카이제곱분포를 따르는 확률변수.- \( d_1 \): 분자의 자유도 (자유도1).- \( d_2 \): 분모의 자유도 (자유도2).F분포는 0 이상의 값을 가지..

1. 정의카이제곱분포(Chi-Square Distribution)는 통계학에서 매우 중요한 분포로, 주로 가설 검정과 분산 분석에 사용됩니다. 이 분포는 서로 독립적인 표준정규분포를 따르는 확률변수 \( Z_1, Z_2, ..., Z_k \)의 제곱합으로 정의됩니다.수학적 정의는 다음과 같습니다:\[X = \sum_{i=1}^{k} Z_i^2\]여기서:- \( Z_i \)는 표준정규분포 \( N(0, 1) \)를 따르는 독립적인 확률변수입니다.- \( k \)는 자유도(degree of freedom)라고 하며, 카이제곱분포의 형태를 결정하는 중요한 매개변수입니다.카이제곱분포는 항상 0 이상의 값을 가지며, 자유도가 증가할수록 분포의 형태가 정규분포에 가까워집니다.2. 기댓값과 증명기댓값(E[X]):카이..

선형결합이란?선형결합(linear combination)은 여러 벡터가 주어졌을 때, 이들 벡터를 일정한 스칼라(숫자)로 곱한 후 더하여 새로운 벡터를 생성하는 방법입니다.  정의주어진 벡터 $ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n $와 스칼라 $ c_1, c_2, \dots, c_n $​가 있을 때, 이들 벡터의 선형결합은 다음과 같이 정의됩니다. $ \vec{w} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \dots + c_n \vec{v}_n $ 여기서 $ \vec{w} $는 $ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n $의 선형결합에 의해 생성된 새로운 벡터입니다. 선형결합은 벡터 공간에서 특정 방향이나 위치에 있는 벡..

벡터란? 벡터(Vector)는 크기와 방향을 동시에 가지는 양입니다. 벡터는 여러 요소를 가진 배열로 나타낼 수 있으며, 이 요소들은 각 차원의 값을 나타냅니다. 표기법벡터는 일반적으로 굵은 소문자(예: $v$) 또는 화살표가 있는 소문자(예: $ \vec{v} $)로 표기합니다. 2차원 벡터와 3차원 벡터는 각각 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.2차원 벡터: $ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} $3차원 벡터: $ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} $​​​여기서 $ v_1, v_2, v_3 $​는 벡터의 각 요소입니다. 기본 연산벡터는 여러 가지 연산을 통해 다룰 수 있습니다...