[선형대수] 벡터의 선형결합, 선형독립, 선형종속

선형결합이란?

선형결합(linear combination)은 여러 벡터가 주어졌을 때, 이들 벡터를 일정한 스칼라(숫자)로 곱한 후 더하여 새로운 벡터를 생성하는 방법입니다. 

 

정의

주어진 벡터 $ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n $와 스칼라 $ c_1, c_2, \dots, c_n $​가 있을 때, 이들 벡터의 선형결합은 다음과 같이 정의됩니다.

 

$ \vec{w} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \dots + c_n \vec{v}_n $

 

여기서 $ \vec{w} $는 $ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n $의 선형결합에 의해 생성된 새로운 벡터입니다. 선형결합은 벡터 공간에서 특정 방향이나 위치에 있는 벡터를 표현하는 데 유용합니다.

 

예시

예를 들어, 2차원 공간에서 벡터 $ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $와 $ \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $가 주어졌다고 가정해봅시다. 이들 벡터의 선형결합은 다음과 같습니다.

 

$ \vec{w} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 + 3c_2 \\ 2c_1 + 4c_2 \end{pmatrix} $

 

스칼라 $ c_1 $​와 $ c_2 $​의 값을 바꾸면, 우리는 벡터 $ \vec{w} $의 위치와 방향을 조정할 수 있습니다. 예를 들어, $ c_1 = 2 $, $ c_2 = 1 $일 때, $ \vec{w} $는 다음과 같이 계산됩니다.

 

$ \vec{w} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 \\ 4 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix} $

 

이 예에서, $ \vec{w} $는 $ \vec{v}_1 $​과 $ \vec{v}_2 $​의 선형결합으로 얻은 새로운 벡터입니다.

 

선형독립과 선형종속

선형독립(linearly independent)과 선형종속(linearly dependent)은 벡터들이 서로 독립적인지, 아니면 서로 관련이 있는지를 판단하는 개념입니다. 

 

선형독립의 정의

벡터 $ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n $가 선형독립이라고 할 때, 이들 벡터 사이에 다음과 같은 관계가 성립합니다.

 

$ c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \dots + c_n \vec{v}_n = \vec{0} $

 

이 방정식이 성립하기 위해서는 모든 스칼라 $ c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0 $이어야 합니다. 즉, 벡터들의 선형결합이 영벡터 $ \vec{0} $가 되기 위해서는 모든 스칼라가 $0$이어야만 합니다. 이 경우, 벡터들은 선형독립입니다.

 

선형종속의 정의

반대로, 벡터 $ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n $가 선형종속이라고 하면, 이들 중 적어도 하나의 벡터가 나머지 벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있음을 의미합니다. 즉, 다음과 같은 관계가 성립할 수 있습니다.

 

$ c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \dots + c_n \vec{v}_n = \vec{0} $

 

여기서 $ c_i $​들 중 적어도 하나는 $0$이 아닌 값을 가집니다. 이 경우, 벡터들은 선형종속입니다.

 

예시

• 선형독립의 예시: 2차원 공간에서 $ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $와 $ \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $는 선형독립입니다. 이들 벡터는 서로 독립적이며, 하나의 벡터는 다른 벡터의 선형결합으로 표현될 수 없습니다.
• 선형종속의 예시: 2차원 공간에서 $ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} $와 $ \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $는 선형종속입니다. 왜냐하면 $ \vec{v}_1 $은 $ \vec{v}_2 $​의 $2$배이기 때문에, $ \vec{v}_1 = 2\vec{v}_2 $​로 표현할 수 있습니다.

 

오늘은 벡터의 선형결합, 선형독립, 선형종속에 대해 알아보았습니다.

오늘도 긴글 봐주셔서 감사합니다.