[미적분] 정적분과 증명

이 글에서는 정적분의 기본 공식에 대해 간단히 증명해보겠습니다.

우선 정적분이란 함수 f(x)가 주어진 구간 [a,b]에서 연속일때, a에서 b까지의 면적을 계산하는 방법입니다.

공식은 다음과 같습니다.

 

해당 식은 f(x)가 [a,b]에서 정적분된 값을 의미합니다.

즉 f(x)와 x축사이의 면적을 의미합니다.

f(x)가 a에서 b까지의 x축사이의 면적

 

 

그래서 정적분의 핵심 공식은 다음과 같습니다.

이렇게 보면 어렵긴 한데 사각형 넓이 구하는 공식이랑 비슷하다고 생각해주시면 될것 같아요. 

사각형 넓이

사각형 넓이 (4 - 0) * (4 - 0) = 16

정적분 공식도 비슷하게 b-a에 f(x)를 씌우기만 하면 됩니다.

다만 여기서 F는 f의 부정적분 또는 원시 함수입니다. 즉, F′(x)=f(x)를 만족하는 함수입니다.

(쉽게 미분을 뒤집으면 됩니다)

[미적분] 적분공식

 

이제 증명을 해보겠습니다.

• 기본 가정
  • 먼저 함수 f가 [a,b]구간에서 연속이고, F가 f의 부정적분이라고 가정해봅시다. 즉, F′(x)=f(x)입니다.
• 부분 구간
  • [a,b] 구간을 n개의 작은 소구간으로 다시 나눕니다. 각 구간의 폭은 z = (b-a)/n입니다.
  • 각 작은 구간의 오른쪽 끝점을 x_i라 하며 x_iㄴ = a + i * z입니다.
  • (여기서 i는 0부터 n까지의 정수입니다)
  • 함수 f의 각 작은 구간에서의 값을 f(x_i)로 근사시킵니다.
• 리먼 합
  • 함수 f의 정적분은 작은 구간들에서의 함수 값을 더함으로써 근사시킬수 있습니다.
  • 이를 리먼합이라고 합니다. 
  • (x_{i}^{*}는 각 구간 내의 임의의 점입니다)

• 리먼 합과 부정적분의 관계
  • 리먼 합 S_n을 부정적분 F로 표현하면 다음과 같습니다

• 정리
  • 위 식을 정리해보자면 다음과 같습니다

• 결론
  • 따라서 리먼 합 S_n이 무한대로 갈때 정적분의 값으로 수렴합니다.

 

간단한 예제를 한번 사용해보겠습니다.

 

문제: f(x) = x^2일 때 [1,5] 구간에서의 정적분을 계산하시오.

1. 부정적분을 구합니다.

2. 정적분 공식을 사용합니다.

3. 부정적분의 값을 대입해서 계산합니다.

4. 정답: 124/3

 

오늘은 정적분의 공식과 증명에 대해 간단히 알아보았습니다.

다음 글에서는 정적분의 성질에 대해 간단히 다뤄보고자 합니다.

오늘도 긴 글 봐주셔서 감사합니다.