[선형대수] 벡터와 기본 공식

벡터란?

벡터(Vector)는 크기와 방향을 동시에 가지는 양입니다. 벡터는 여러 요소를 가진 배열로 나타낼 수 있으며, 이 요소들은 각 차원의 값을 나타냅니다.

 

표기법

벡터는 일반적으로 굵은 소문자(예: $v$) 또는 화살표가 있는 소문자(예: $ \vec{v} $)로 표기합니다. 2차원 벡터와 3차원 벡터는 각각 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

• 2차원 벡터: $ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} $
• 3차원 벡터: $ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} $​​​

여기서 $ v_1, v_2, v_3 $​는 벡터의 각 요소입니다.

 

기본 연산

벡터는 여러 가지 연산을 통해 다룰 수 있습니다. 벡터의 기본적인 연산으로는 덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱, 내적, 외적 등이 있습니다.

 

덧셈과 뺄셈

벡터의 덧셈과 뺄셈은 각각 대응하는 성분끼리 더하거나 빼는 방식으로 이루어집니다.

• 벡터 덧셈: 두 벡터 $ \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} $와 $ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} $의 덧셈은 다음과 같습니다.

 

$ \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{pmatrix} $

 

• 벡터 뺄셈: 두 벡터 $ \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} $와 ​$ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} $의 뺄셈은 다음과 같습니다.

 

$ \vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 - v_1 \\ u_2 - v_2 \end{pmatrix} $

 

스칼라 곱

스칼라 곱은 벡터의 각 성분에 일정한 스칼라 값을 곱하는 연산입니다.

벡터 $ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} $에 스칼라 $c$를 곱하면 다음과 같습니다.

 

$ \vec{v} = c \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c v_1 \\ c v_2 \end{pmatrix} $

 

스칼라 곱은 벡터의 크기를 조정하지만, 방향은 유지합니다.

 

벡터의 내적

벡터의 내적은 두 벡터의 대응하는 성분을 곱한 후, 그 합을 계산하는 연산입니다.

벡터 $ \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} $와 $ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} $의 내적은 다음과 같습니다.

 

$ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 $

 

내적의 결과는 스칼라(숫자)로 나타나며, 두 벡터가 이루는 각도와 관련이 있습니다. 내적이 0이면 두 벡터는 서로 직교(90도)합니다.

 

벡터의 외적(또는 벡터의 곱)

벡터의 외적(또는 벡터의 곱)은 3차원 벡터 사이에서 정의되며, 두 벡터가 이루는 평면에 수직인 새로운 벡터를 생성합니다.

벡터 $ \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} $​​​와 $ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} $​​​의 외적은 다음과 같이 계산됩니다.

 

$ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} u_2 v_3 - u_3 v_2 \\ u_3 v_1 - u_1 v_3 \\ u_1 v_2 - u_2 v_1 \end{pmatrix} $

​​​

여기서 $ \hat{i} $, $ \hat{j} $, $ \hat{k} $는 각각 $ x $, $ y $, $ z $축의 단위벡터입니다.

 

벡터의 크기와 방향

벡터의 크기(또는 길이)는 벡터가 얼마나 긴지를 나타내며, 피타고라스의 정리를 이용해 계산할 수 있습니다.

 

크기

2차원 벡터 ​$ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} $의 크기 $ |\vec{v}| $는 다음과 같이 계산됩니다.

 

$ |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} $

 

3차원 벡터 $ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} $의 크기는 다음과 같습니다.

 

$ |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} $

 

단위 벡터

단위 벡터는 크기가 1인 벡터로, 주어진 벡터의 방향을 유지하면서 크기를 1로 조정한 벡터입니다.

벡터 $ \vec{v} $의 단위 벡터 $ \hat{v} $는 다음과 같이 계산됩니다.

 

$ \hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $

 

오늘은 벡터와 기본 공식들에 대해서 알아보았습니다.

오늘도 긴글 봐주셔서 감사합니다.