더움바다의 일상

초기하분포 (Hypergeometric Distribution)초기하분포(Hypergeometric Distribution)는 유한한 모집단에서 비복원 추출을 통해 얻은 표본에서 특정 속성을 가진 항목의 수를 모델링하는 분포입니다.초기하분포는 모집단에서의 성공과 실패를 구분하며, 이항분포와는 달리 비복원 추출을 사용합니다. 초기하분포의 확률변수 $X$는 $N$개의 모집단에서 $n$개의 표본을 추출할 때, $K$개의 성공 항목 중에서 $k$개의 성공 항목을 뽑을 확률을 나타냅니다. 초기하분포의 확률 질량 함수(PMF)는 다음과 같이 주어집니다. $ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} $ $N$은 모집단의 크기를 나타냅니다.$K$는 ..

음이항분포 (Negative Binomial Distribution)음이항분포는 일정한 성공 확률을 가진 독립적인 시행에서 $r$번째 성공이 나타날 때까지의 시행 횟수를 모델링하는 분포입니다. 이는 기하분포의 일반화된 형태로 볼 수 있습니다. (기하분포란?)음이항분포에서 확률변수 $X$는 $r$번째 성공이 나타날 때까지의 시행 횟수를 나타내며, 성공 확률을 $p$라고 할 때, 확률 질량 함수(PMF)는 다음과 같습니다. $ P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} \cdot p^r \cdot (1-p)^{k-r} \quad \text{for } k = r, r+1, r+2, \dots $ 기댓값음이항분포의 기댓값을 조건부 기댓값을 활용하여 구할수 있습니다.조건부 기댓값의 성질을 활용하면, $r$..

기하분포 (Geometric Distribution)기하분포는 성공 또는 실패와 같은 이진 사건의 연속적인 시행에서 첫 번째 성공이 나타날 때까지의 시행 횟수를 모델링하는 분포입니다.예를 들어, 동전을 던져 첫 번째 앞면(성공)이 나올 때까지의 시행 횟수를 기하분포로 나타낼 수 있습니다.기하분포에서 확률변수 $X$는 첫 번째 성공까지의 시행 횟수를 나타내며, 성공 확률을 $p$라고 할 때, 확률 질량 함수(PMF)는 다음과 같습니다 $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p \quad \text{for } k = 1, 2, 3, \dots $ 기댓값기하분포의 기댓값을 구하기 위해 조건부 기대값의 성질을 활용할 수 있습니다.첫 번째 시행에서 성공하는 경우이 경우 성공은 한 번의 시행으로 끝나므로 $ ..

기댓값이란?기댓값(Expectation)은 확률 분포의 중심 경향을 나타내며, 확률 변수가 가질 수 있는 값들의 가중평균입니다. 기댓값은 확률 변수 $X$의 예상되는 평균값을 의미하며, 일반적으로 $E(X)$ 또는 $\mu$로 표기합니다. (확률 분포란? [통계학] 확률분포)(확률 변수란? [통계학] 확률변수) 이산 확률 변수의 기댓값이산 확률 변수 $X$의 기댓값은 각 값에 그 값이 발생할 확률을 곱한 후 합한 값으로 계산됩니다. 수식으로 표현하면 다음과 같습니다 $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i) $$ x_i $는 확률 변수 $X$가 가질 수 있는 $i$번째 값입니다.$ P(X = x_i) $는 $X$가 $ x_i $​를 가질 확률입니다. 연속 확률 변수의..

조건부 확률이란?조건부 확률이란, 한 사건 $B$가 발생한 상황에서 다른 사건 $A$가 발생할 확률을 의미합니다.이 확률은 $P(A|B)$로 표시되며, $B$가 이미 발생했다는 정보를 바탕으로 $A$가 발생할 가능성을 측정합니다.조건부 확률의 정의는 다음과 같습니다$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$  (단  $P(B) > 0$) 여기서$P(A \cap B)$는 $A$와 $B$가 모두 발생할 확률입니다.$P(B)$는 $B$가 발생할 확률입니다. 이 정의는 $B$가 발생한 후, $A$가 발생할 확률이 얼마나 되는지를 나타냅니다. 조건부 확률과 곱셈 법칙조건부 확률은 곱셈 법칙과 밀접한 관계가 있습니다. 두 사건 $A$와 $B$가 동시에 일어날 확률은 다음과 같이 조건부 확률을 사용..