더움바다의 일상

안녕하세요. 이번 글에서는 다항계수와 그에 대한 증명에 대해 다뤄보겠습니다.다항계수(Multinomial Coefficients)는 여러 개의 항이 있는 다항식을 전개할 때 나타나는 계수를 의미합니다. 이항계수의 확장 개념이라고 생각해주시면 될것 같습니다.다항계수는 우선 다음과 같은 다항식의 전개에서 등장합니다: 위의 다항식을 전개하면 다음과 같이 전개할수 있습니다. 각 항의 계수는 다음과 같이 주어집니다.위의 이미지에서 등식의 왼쪽을 다항계수라 부르고, 이것은 곧 n에서 a_1, a_2, ... , a_k 각각의 개수를 뽑는 방법의 수를 의미합니다. 그럼 이제 다항계수를 증명해보도록 하겠습니다. 우선 다항식을 전개하면 위에도 넣었지만 다음과 같이 됩니다.여기서 각 항을 만들기 위해 x_1을 a_1번, ..

안녕하세요. 오늘은 이항정리와 증명에 대해 다뤄보겠습니다. 이항정리란 조합을 구하는 형식을 이용해 두 항의 다항식을 전개하는 방법입니다. 여기서 nCk는 조합을 구할때의 형식과 동일합니다. (이항정리라고도 부릅니다) 귀납법에 의한 증명n = 1일 경우 다음식이 성립합니다. n - 1에 대해 다음식이 성립한다고 가정할수 있습니다.이 식을 x와 y로 시그마를 분리하면 다음과 같습니다. 위 식에서 앞의 시그마의 k + 1 = i로 두고, 뒤의 시그마에서 k = 1로 두면 다음과 같습니다. 그럼 몇가지 문제를 통해 좀더 자세히 알아보겠습니다Q1) (x+y)^4를 전개하시오. 오늘은 이항정리와 증명에 대해 알아보았습니다.오늘도 긴 글 봐주셔서 감사합니다.

안녕하세요. 오늘은 조합의 증명에 대해 다뤄보겠습니다. 조합의 공식은 지난번에 다뤘지만 간단히 살펴보자면 다음과 같습니다. 증명 조합은 n개의 원소중에서 r개의 원소를 선택하는 방법의 개수입니다.즉 이를 계산하기 위해 먼저 n개의 원소를 고르는 모든 순열의 수를 구합니다. -> n! 다음으로 r개의 원소를 선택할텐데, 이 r개의 원소를 고르는 순열의 수를 구합니다. -> r!그렇게 된다면 나머지 n-r개가 남을텐데요.이 n-r개의 원소를 고르는 순열의 수를 구해줍니다 -> (n-r)! 순열에서 다뤘듯이 중복된 값을 나누어주어야겠죠.그래서 n개의 원소를 고르는 순열의 수(n!)에서 r개의 원소를 고르는 순열의 수(r!)와 나머지 n-r개의 원소를 고려한 순열의 수로 나누어줍니다. (n-r)!  이 외에도 ..

안녕하세요. 오늘은 조합에 대해 다뤄보겠습니다. 조합은 순서를 고려하지 않고, 주어진 n개의 원소 중에서 r개의 원소를 선택하는 방법의 수를 의미합니다.예를 들어 A,B,C중에서 두 개를 선택하는 조합은 다음과 같이 세 가지가 있습니다: ABACBC 조합의 수는 다음의 공식을 이용하여 계산할수 있습니다.그래서 이 공식을 이용해서 A,B,C중에서 두개를 선택하는 방법을 풀어보자면 다음과 같습니다. 간단히 몇가지 예제를 통해 더 자세히 살펴보겠습니다. Q1) 로또의 45개 번호중 6개를 선택하는 경우 가능한 모든 조합의 수는?로또 = 번호 45개 (n)선택할 번호의 개수 = 6개 (r) 즉 45C6이 됩니다. 그러므로 가능한 모든 조합의 수는 8,145,060가지가 나오게 됩니다. Q2) 30명인 학급에서 ..

안녕하세요. 오늘은 순열에 대해서 간단히 다뤄보겠습니다. 순열은 주어진 n개의 원소들을 배치하는 모든 방법을 일컫는 말인데요.예를 들어 a,b,c라는 3개의 문자가 주어졌을때 가능한 경우의 수는 총 6가지가 있습니다. a b ca c bb a cb c ac a bc b a 3 x 2 x 1 = 3! = 6이 나오게 됩니다. 그렇기에 일반적으로 n개의 원소에 대한 순열의 수는 n팩토리얼(n!)로 계산할수 있습니다.여기서 n팩토리얼(n!)은 1부터 n까지의 모든 자연수의 곱을 의미합니다.ex) 3! = 3 × 2 × 1 = 6 간단히 몇가지 예제를 통해 조금 더 자세히 살펴보겠습니다.Q1) 남학생 3명과 여학생 5명이 국어수업을 듣는데 시험을 통해 순위를 정하고자 한다. (단 중복된 점수는 없다고 가정하자)..