[확률] 순열

안녕하세요. 오늘은 순열에 대해서 간단히 다뤄보겠습니다.

 

순열은 주어진 n개의 원소들을 배치하는 모든 방법을 일컫는 말인데요.

예를 들어 a,b,c라는 3개의 문자가 주어졌을때 가능한 경우의 수는 총 6가지가 있습니다.

 

a b c

a c b

b a c

b c a

c a b

c b a

 

3 x 2 x 1 = 3! = 6이 나오게 됩니다.

 

그렇기에 일반적으로 n개의 원소에 대한 순열의 수는 n팩토리얼(n!)로 계산할수 있습니다.

여기서 n팩토리얼(n!)은 1부터 n까지의 모든 자연수의 곱을 의미합니다.

ex) 3! = 3 × 2 × 1 = 6

 

간단히 몇가지 예제를 통해 조금 더 자세히 살펴보겠습니다.

Q1) 남학생 3명과 여학생 5명이 국어수업을 듣는데 시험을 통해 순위를 정하고자 한다. 

(단 중복된 점수는 없다고 가정하자)

 

a) 가능한 순위는 몇가지인가?

-> 8명(남학생 수 + 여학생 수)의 순위를 생각하는 문제이므로 8! = 8 x 7 x ... x 2 x 1 = 40320

-> 즉 40,320가지가 나온다.

 

b) 남학생, 여학생 각각의 순위를 정한다면 가능한 순위는 몇가지인가?

-> (가능한 남학생들의 순위) x (가능한 여학생들의 순위) = 3! x 5! = (3 x 2 x 1) x (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 6 x 120 = 720

-> 총 720가지가 나온다.

 

Q2) 어떤 학생이 국어책 3권, 영어책 4권, 수학책 3권을 책장에 정리하고자 한다. 

a) 가능한 방법은 몇가지인가?

-> 모든 책이 10권(국어책 수 + 영어책 수 + 수학책 수)이므로 10! = 3628800

-> 총 3,622,800개의 방법이 존재한다.

 

b) 같은 과목의 책을 나란히 배열하고자 한다면 가능한 방법은 몇가지인가?

국 국 국 영 영 영 영 수 수 수

국 국 국 수 수 수 영 영 영 영

영 영 영 영 국 국 국 수 수 수

영 영 영 영 수 수 수 국 국 국

수 수 수 국 국 국 영 영 영 영

수 수 수 국 국 국 영 영 영 영

 

이렇게 같은 과목의 책들을 분류하는 방법이 3!이 존재한다.

거기에 책 별로 방법이 각각 국어책 = 3!, 영어책 = 4!, 수학책 = 3!이므로

같은 과목의 책을 나란히 배열하고자 한다면 3!(국) x 4!(영) x 3!(수) x 3!(과목 분류 방법) = 432

총 432가지의 방법이 존재한다.

 

Q3) 어떤 항아리에 흰색 구슬 4개, 빨간색 구슬 3개, 파란색 구슬 2개가 들어있다.

모든 구슬을 뽑을때 구슬을 뽑는 방법의 가짓수는 총 몇가지인가?

-> 간단히 보자면 모든 구슬의 개수는 9개이므로 9!으로 볼수도 있다.

하지만 이것은 틀렸다. 

구슬을 뽑을때 구슬의 번호까지 생각하는것이 아닌 구슬의 종류만 생각하기에

흰1 흰2 흰3 흰4 빨1 빨2 빨3 파1 파2 파3과

흰2 흰1 흰3 흰4 빨1 빨2 빨3 파1 파2 파3은 같은 방법이다.

 

그러므로 모든 방법의 가짓수 9!을 각 구슬의 뽑기 방법으로 나누어주어야 한다.

즉 9!(모든 방법) / 4!(흰색 구슬 순서) x 3!(빨간 구슬 순서) x 2!(파란 구슬 순서)

 

9! / 4! x 3! x 2! = 1260

모든 구슬을 뽑는 방법의 가짓수는 총 1,260가지가 존재한다.

 

Q4) tomato로부터 구성할수 있는 문자열은 총 몇가지인가?

위와 동일하게 생각해서 해결하면 된다.

모든 방법의 가짓수 = 6!

t의 개수 = 2!

o의 개수 = 2!

m의 개수 = 1!

a의 개수 1!

 

즉 6! / 2! x 2! x 1! x 1! = 180이 나온다.

그러므로 tomato로부터 구성할수 있는 문자열은 총 180가지가 나온다.

 

오늘은 간단히 순열에 대해서 알아보았습니다.

오늘도 긴글 봐주셔서 감사합니다.