[통계학] 베르누이 분포와 이항 분포

베르누이분포 (Bernoulli Distribution)

베르누이분포는 하나의 시행에서 두 가지 가능한 결과(성공 또는 실패)를 가지는 이산 확률분포입니다.

성공의 확률을 $p$라고 하면, 실패의 확률은 $ 1−p $입니다.

베르누이분포에서 확률변수 $X$는 성공(1) 또는 실패(0)를 나타냅니다.

확률 질량 함수(PMF)는 다음과 같이 주어집니다.

 

$ P(X = x) = \begin{cases} p & \text{if } x = 1 \\ 1-p & \text{if } x = 0 \end{cases} $

​

여기서 $p$는 성공의 확률이고, $1-p$는 실패의 확률입니다.

 

기댓값

베르누이분포에서 확률변수 $X$는 0 또는 1의 값을 가질 수 있습니다. 그러므로 기댓값은 다음과 같이 정의됩니다.

 

$ E(X) = \sum_{x=0}^{1} x \cdot P(X = x) $

 

이를 계산하면

 

$ E(X) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p $

 

따라서 기댓값은 $p$입니다.

분산

분산은 다음과 같이 계산됩니다.

 

$ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $

 

여기서 $ X^2 = X $이므로 $ E(X^2) = p $입니다. 따라서

 

$ \text{Var}(X) = p - p^2 = p(1-p) $

 

따라서 분산은 $ p(1-p) $입니다.

 

이항분포 (Binomial Distribution)

이항분포는 독립적인 베르누이 시행을 $n$번 반복했을 때, 성공의 횟수를 나타내는 이산 확률분포입니다.

각 시행에서 성공할 확률을 $p$라고 하면, 이항분포는 이 $n$번의 시행에서 성공이 나타난 횟수를 모델링합니다.

이항분포에서 확률변수 $X$는 $n$번의 시행 중 성공한 횟수를 나타내며, 확률 질량 함수(PMF)는 다음과 같이 주어집니다.

 

$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $

 

• $ \binom{n}{k} $는 이항계수로, $n$번의 시행 중 $k$번 성공할 수 있는 경우의 수를 나타냅니다.
• $p$는 각 시행에서 성공할 확률,
• $ 1-p $는 실패할 확률입니다.

기댓값

이항분포는 $n$번의 독립적인 베르누이 시행의 합으로 볼 수 있습니다.

각 시행의 기댓값이 $p$이므로, 이항분포의 기댓값은 $n$번의 기댓값의 합으로 표현할 수 있습니다.

 

$ E(X) = E(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \dots + E(X_n) = np $

 

분산

이항분포에서 $X$의 분산은 독립적인 $n$번의 베르누이 시행의 분산의 합으로 구할 수 있습니다.

각 베르누이 시행의 분산은 $ p(1-p) $이므로

 

$ \text{Var}(X) = \text{Var}(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + \dots + \text{Var}(X_n) = np(1-p) $

 

따라서 이항분포의 분산은 $ np(1-p) $입니다.

 

오늘은 베르누이 분포와 이항분포에 대해 알아보았습니다.

오늘도 긴글봐주셔서 감사합니다.