[확률] 표본공간과 사건

표본공간이란?

표본공간(Sample Space)은 확률 실험에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과의 집합입니다.

표본공간은 일반적으로 S로 표시됩니다.

 

예를 들어, 동전을 한 번 던지는 실험에서 나올 수 있는 모든 결과는 앞면(H) 또는 뒷면(T)입니다.

이 경우, 표본공간은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

S={ H, T }

 

또 다른 예로, 주사위를 한 번 던지는 실험에서 표본공간은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

S={1, 2, 3, 4, 5, 6 }

 

표본공간은 실험의 결과가 확률적으로 정의되는 모든 가능한 결과를 포함해야 하며, 이로부터 다양한 사건을 정의할 수 있습니다.

사건이란?

사건(Event)은 표본공간의 부분집합으로, 하나 이상의 결과로 구성됩니다.

사건은 어떤 실험에서 특정한 조건을 만족하는 결과들의 집합을 의미하며, 일반적으로 A, B등의 대문자로 표시됩니다.

예를 들어, 앞서 언급한 동전을 던지는 실험에서 "앞면이 나오는 사건"을 A로 정의하면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다

A={ H }

 

주사위를 던지는 실험에서 "짝수가 나오는 사건"을 B로 정의하면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다

B={ 2, 4, 6 }

 

사건은 하나의 결과(단일 사건)일 수도 있고, 여러 결과(복합 사건)일 수도 있습니다.

사건이 발생할 확률은 해당 사건이 표본공간 내에서 차지하는 비율로 정의됩니다.

 

사건의 종류

사건은 여러 가지로 분류될 수 있습니다. 몇 가지 주요 사건의 종류를 살펴보겠습니다.

1. 단순 사건 (Simple Event): 단순 사건은 표본공간에서 단 하나의 결과로 구성된 사건입니다. 예를 들어, 주사위 던지기에서 1이 나오는 사건 A는 단순 사건입니다. A={ 1 }
2. 복합 사건 (Compound Event): 복합 사건은 표본공간에서 둘 이상의 결과로 구성된 사건입니다. 예를 들어, 주사위 던지기에서 짝수가 나오는 사건 B는 복합 사건입니다. B={ 2, 4, 6 }
3. 확실한 사건 (Certain Event): 확실한 사건은 표본공간 전체를 포함하는 사건으로, 반드시 발생합니다. 예를 들어, 주사위를 던졌을 때 어떤 숫자가 나오는 사건 S는 확실한 사건입니다. P(S)=1
4. 불가능한 사건 (Impossible Event): 불가능한 사건은 표본공간에 속하지 않는 사건으로, 절대 발생하지 않습니다. 예를 들어, 주사위 던지기에서 7이 나오는 사건 ∅ 은 불가능한 사건입니다. P(∅)=0

 

표본공간과 사건의 관계

표본공간과 사건은 밀접한 관계를 가지고 있습니다.

사건은 표본공간의 부분집합이므로, 모든 사건은 표본공간의 일부로 존재합니다.

또한, 사건이 발생할 확률은 해당 사건에 포함된 결과의 수를 표본공간 전체의 결과 수로 나눈 값으로 계산됩니다.

예를 들어, 주사위를 던지는 실험에서 사건 B가 "짝수가 나오는 사건"일 때, 이 사건이 발생할 확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

$P(B)=\frac{|B|}{|S|} = \frac{3}{6} =\frac{1}{2}​$

 

여기서 ∣B∣는 사건 B에 속한 결과의 수, ∣S∣는 표본공간에 속한 전체 결과의 수를 나타냅니다.

 

사건의 조작과 확률

사건은 서로 조합되거나 변형될 수 있으며, 이를 통해 복잡한 사건을 분석할 수 있습니다. 몇 가지 중요한 조작과 그에 따른 확률 계산 방법을 소개합니다.

1. 여사건 (Complement of an Event): 사건 A의 여사건 $A^{c}$ 는 사건 A가 발생하지 않는 경우를 나타냅니다.  $A^{c}$의 확률은 다음과 같이 계산됩니다 $P(A^{c})=1-P(A)$
2. 합사건 (Union of Events): 두 사건 A와 B의 합사건 $ A\cup B​ $는 A또는 B중 하나 이상이 발생하는 경우를 나타냅니다. 합사건의 확률은 다음과 같이 계산됩니다. $P(A\cup B)​= P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
3. 교사건 (Intersection of Events): 두 사건 A와 B의 교사건 $A\cap B$는 A와 B가 동시에 발생하는 경우를 나타냅니다. 교사건의 확률은 다음과 같이 계산됩니다. $P(A\cap B)=P(A) * P(B|A)$

 

오늘은 간단히 표본공간과 사건에 대해 다루어보았습니다.

오늘도 긴글 봐주셔서 감사합니다.