[확률] 조건부 확률

조건부 확률이란?

조건부 확률이란, 한 사건 $B$가 발생한 상황에서 다른 사건 $A$가 발생할 확률을 의미합니다.

이 확률은 $P(A|B)$로 표시되며, $B$가 이미 발생했다는 정보를 바탕으로 $A$가 발생할 가능성을 측정합니다.

조건부 확률의 정의는 다음과 같습니다

$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$  (단  $P(B) > 0$)

 

여기서

$P(A \cap B)$는 $A$와 $B$가 모두 발생할 확률입니다.

$P(B)$는 $B$가 발생할 확률입니다.

 

이 정의는 $B$가 발생한 후, $A$가 발생할 확률이 얼마나 되는지를 나타냅니다.

 

조건부 확률과 곱셈 법칙

조건부 확률은 곱셈 법칙과 밀접한 관계가 있습니다. 두 사건 $A$와 $B$가 동시에 일어날 확률은 다음과 같이 조건부 확률을 사용하여 계산할 수 있습니다

$P(A\cap B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)$

 

조건부 확률의 예제

조건부 확률을 이해하기 위해 간단한 예제를 살펴보겠습니다.

 

예제 1: 주사위 문제

주사위를 한 번 던졌을 때, 나온 숫자가 짝수라는 조건 하에서 그 숫자가 4일 확률을 구해보겠습니다.

1. 표본공간 $S$: 주사위를 던졌을 때 가능한 모든 결과는 다음과 같습니다. $S = \begin{Bmatrix}
   1, 2, 3, 4, 5, 6\end{Bmatrix}$
2. 사건 $A$: 숫자가 4일 확률 $A$는 다음과 같습니다. $A = \begin{Bmatrix}
   4\end{Bmatrix}$
3. 사건 $B$: 숫자가 짝수일 확률 $B$는 다음과 같습니다. $B = \begin{Bmatrix}
   2, 4, 6\end{Bmatrix}$
4. 조건부 확률 계산: $P(A|B)$를 계산하기 위해서는 먼저 $P(A \cap B)$를 계산해야 합니다.
5. $A \cap B$는 숫자가 4인 경우에 해당하므로, $P(A\cap B) = P(\{4\}) = \frac{1}{6}$.
6. $P(B)$는 숫자가 짝수일 확률이므로, $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
7. 따라서 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$​​

즉, 주사위를 던져 나온 숫자가 짝수라는 조건 하에서 그 숫자가 4일 확률은 $\frac{1}{3}$입니다.

 

예제 2: 카드 게임

52장의 카드가 들어 있는 카드 덱에서 두 장의 카드를 차례로 뽑습니다. 첫 번째 카드가 에이스라는 조건 하에서 두 번째 카드가 에이스일 확률을 구해보겠습니다.

1. 표본공간: 52장의 카드 중 첫 번째 카드를 뽑는 모든 경우가 표본공간입니다.
2. 사건 $A$: 첫 번째 카드가 에이스인 사건입니다. $P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$​
3. 사건 $B$: 두 번째 카드가 에이스인 사건입니다.  $P(B) = \frac{3}{51}$
4. 조건부 확률 $P(B|A)$: 첫번째 카드가 에이스라는 조건 하에서의 두번째 카드가 에이스일 확률은 다음과 같습니다.
5. $P(B|A) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ (첫번째 카드를 뽑은 후 남은 카드: 51장, 그중 남은 에이스: 3장)

따라서 첫 번째 카드가 에이스라는 조건 하에서 두 번째 카드가 에이스일 확률은 $\frac{1}{17}$​입니다.

 

예제 3: 가족 문제

두 자녀를 둔 가족에서 한 아이가 딸이라는 것을 알았을 때, 두 자녀 모두 딸일 확률을 구해보겠습니다.

1. 표본공간: 두 자녀의 성별 조합은 다음과 같습니다. $ S = \{ (딸, 딸), (딸, 아들), (아들, 딸), (아들, 아들) \} $
2. 사건 $A$: 한 아이가 딸인 사건입니다. $ A = \{ (딸, 딸), (딸, 아들), (아들, 딸) \} $
3. 사건 $B$: 두 자녀 모두 딸인 사건입니다. $ B = \{ (딸, 딸) \} $
4. 조건부 확률 $ P(B|A) $: 한 아이가 딸이라는 조건 하에서 두 자녀 모두 딸일 확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다. $ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3} $​

따라서 한 아이가 딸이라는 조건 하에서 두 자녀 모두 딸일 확률은 $ \frac{1}{3} $​입니다.

 

오늘은 조건부 확률에 대해 간단히 알아보았습니다.

오늘도 긴글 봐주셔서 감사합니다.