[확률] 다항계수와 증명

안녕하세요. 이번 글에서는 다항계수와 그에 대한 증명에 대해 다뤄보겠습니다.
다항계수(Multinomial Coefficients)는 여러 개의 항이 있는 다항식을 전개할 때 나타나는 계수를 의미합니다. 이항계수의 확장 개념이라고 생각해주시면 될것 같습니다.


다항계수는 우선 다음과 같은 다항식의 전개에서 등장합니다:

 

위의 다항식을 전개하면 다음과 같이 전개할수 있습니다.

 

각 항의 계수는 다음과 같이 주어집니다.

위의 이미지에서 등식의 왼쪽을 다항계수라 부르고, 이것은 곧 n에서 a_1, a_2, ... , a_k 각각의 개수를 뽑는 방법의 수를 의미합니다.

 

그럼 이제 다항계수를 증명해보도록 하겠습니다.

 

우선 다항식을 전개하면 위에도 넣었지만 다음과 같이 됩니다.

여기서 각 항을 만들기 위해 x_1을 a_1번, x_2를 a_2번, .... x_ak를 a_k번 선택해야 합니다.

이를 위해 총 n번의 선택 중 x_1을 a_1번, x_2를 a_2번, .... x_ak를 a_k번 선택하는 방법의 수를 계산할 필요가 있습니다.

 

계산을 위해선 조합의 수를 구하는 방법을 알아야 하는데 간단히만 다뤄보겠습니다.

[확률] 조합

 

조합의 수를 구하는 방법을 응용해서 해결을 하자면 다음과 같이 계산할수 있습니다.

간단한 예제를 통해 더 자세히 알아보겠습니다.

ex1) (x+y+z)^3을 전개하고 y^2 * z의 계수를 구하시오.

전개 ->

 

그래서 y^2 * z의 계수를 구해보자면 다음과 같습니다.

즉 3개가 나옵니다.

ex2) 축구를 하기 위해 성인 22명을 모집했다. 각 팀을 구성하는 방법은 몇가지인가?

총 인원 => 22명

팀1 => 11명

팀2 => 11명

 

추가로 어떤 팀의 순서가 있는것이 아니기에 중복을 제거해줘야 된다.

즉 팀1, 팀2 어느곳에 들어가도 상관이 없으므로 2!으로 나눠줘야 한다.

 

그렇게 되면 결과는 352,716가지가 나온다.

 

오늘은 다항계수와 증명에 대해 간단히 알아보았습니다.

오늘도 긴글 봐주셔서 감사합니다.