더움바다의 일상

기하분포 (Geometric Distribution)기하분포는 성공 또는 실패와 같은 이진 사건의 연속적인 시행에서 첫 번째 성공이 나타날 때까지의 시행 횟수를 모델링하는 분포입니다.예를 들어, 동전을 던져 첫 번째 앞면(성공)이 나올 때까지의 시행 횟수를 기하분포로 나타낼 수 있습니다.기하분포에서 확률변수 $X$는 첫 번째 성공까지의 시행 횟수를 나타내며, 성공 확률을 $p$라고 할 때, 확률 질량 함수(PMF)는 다음과 같습니다 $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p \quad \text{for } k = 1, 2, 3, \dots $ 기댓값기하분포의 기댓값을 구하기 위해 조건부 기대값의 성질을 활용할 수 있습니다.첫 번째 시행에서 성공하는 경우이 경우 성공은 한 번의 시행으로 끝나므로 $ ..

기댓값이란?기댓값(Expectation)은 확률 분포의 중심 경향을 나타내며, 확률 변수가 가질 수 있는 값들의 가중평균입니다. 기댓값은 확률 변수 $X$의 예상되는 평균값을 의미하며, 일반적으로 $E(X)$ 또는 $\mu$로 표기합니다. (확률 분포란? [통계학] 확률분포)(확률 변수란? [통계학] 확률변수) 이산 확률 변수의 기댓값이산 확률 변수 $X$의 기댓값은 각 값에 그 값이 발생할 확률을 곱한 후 합한 값으로 계산됩니다. 수식으로 표현하면 다음과 같습니다 $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i) $$ x_i $는 확률 변수 $X$가 가질 수 있는 $i$번째 값입니다.$ P(X = x_i) $는 $X$가 $ x_i $​를 가질 확률입니다. 연속 확률 변수의..

조건부 확률이란?조건부 확률이란, 한 사건 $B$가 발생한 상황에서 다른 사건 $A$가 발생할 확률을 의미합니다.이 확률은 $P(A|B)$로 표시되며, $B$가 이미 발생했다는 정보를 바탕으로 $A$가 발생할 가능성을 측정합니다.조건부 확률의 정의는 다음과 같습니다$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$  (단  $P(B) > 0$) 여기서$P(A \cap B)$는 $A$와 $B$가 모두 발생할 확률입니다.$P(B)$는 $B$가 발생할 확률입니다. 이 정의는 $B$가 발생한 후, $A$가 발생할 확률이 얼마나 되는지를 나타냅니다. 조건부 확률과 곱셈 법칙조건부 확률은 곱셈 법칙과 밀접한 관계가 있습니다. 두 사건 $A$와 $B$가 동시에 일어날 확률은 다음과 같이 조건부 확률을 사용..

표본공간이란?표본공간(Sample Space)은 확률 실험에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과의 집합입니다.표본공간은 일반적으로 S로 표시됩니다. 예를 들어, 동전을 한 번 던지는 실험에서 나올 수 있는 모든 결과는 앞면(H) 또는 뒷면(T)입니다.이 경우, 표본공간은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:S={ H, T } 또 다른 예로, 주사위를 한 번 던지는 실험에서 표본공간은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:S={1, 2, 3, 4, 5, 6 } 표본공간은 실험의 결과가 확률적으로 정의되는 모든 가능한 결과를 포함해야 하며, 이로부터 다양한 사건을 정의할 수 있습니다.사건이란?사건(Event)은 표본공간의 부분집합으로, 하나 이상의 결과로 구성됩니다.사건은 어떤 실험에서 특정한 조건을 만족하는 결과들..

안녕하세요. 오늘은 확률의 공리와 몇가지 명제에 대해 다루어보겠습니다. 확률의 공리란 수학에서 증명을 하지 않기로 약속한, 즉 당연한 것으로 가정하는 명제인데요. 크게 3가지가 있습니다. 공리 1모든 확률은 0보다 크고 1보다 작다.공리 2표본공간 S에서의 확률은 1이다.공리 3상호 배반인 임의의 사건 E_1, E_2... 등에 대해 다음식이 성립한다. 확률의 공리를 바탕으로 몇가지 명제를 도출할수 있습니다.A의 여사건의 확률은 1 - A의 확률과 같습니다.두 사건 A와 B에 대해 A U B의 확률은 A + B - A n B의 확률과 같습니다.두 사건 A와 B가 일어날 확률은 다음과 같습니다.사건 B가 일어났다는 전제 하에 A의 확률은 다음과 같습니다.B_1, B_2...가 전부 상호배반이고 합집합이 표..