더움바다의 일상

조건부 확률이란?조건부 확률이란, 한 사건 $B$가 발생한 상황에서 다른 사건 $A$가 발생할 확률을 의미합니다.이 확률은 $P(A|B)$로 표시되며, $B$가 이미 발생했다는 정보를 바탕으로 $A$가 발생할 가능성을 측정합니다.조건부 확률의 정의는 다음과 같습니다$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$  (단  $P(B) > 0$) 여기서$P(A \cap B)$는 $A$와 $B$가 모두 발생할 확률입니다.$P(B)$는 $B$가 발생할 확률입니다. 이 정의는 $B$가 발생한 후, $A$가 발생할 확률이 얼마나 되는지를 나타냅니다. 조건부 확률과 곱셈 법칙조건부 확률은 곱셈 법칙과 밀접한 관계가 있습니다. 두 사건 $A$와 $B$가 동시에 일어날 확률은 다음과 같이 조건부 확률을 사용..

표본공간이란?표본공간(Sample Space)은 확률 실험에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과의 집합입니다.표본공간은 일반적으로 S로 표시됩니다. 예를 들어, 동전을 한 번 던지는 실험에서 나올 수 있는 모든 결과는 앞면(H) 또는 뒷면(T)입니다.이 경우, 표본공간은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:S={ H, T } 또 다른 예로, 주사위를 한 번 던지는 실험에서 표본공간은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:S={1, 2, 3, 4, 5, 6 } 표본공간은 실험의 결과가 확률적으로 정의되는 모든 가능한 결과를 포함해야 하며, 이로부터 다양한 사건을 정의할 수 있습니다.사건이란?사건(Event)은 표본공간의 부분집합으로, 하나 이상의 결과로 구성됩니다.사건은 어떤 실험에서 특정한 조건을 만족하는 결과들..

안녕하세요. 오늘은 확률의 공리와 몇가지 명제에 대해 다루어보겠습니다. 확률의 공리란 수학에서 증명을 하지 않기로 약속한, 즉 당연한 것으로 가정하는 명제인데요. 크게 3가지가 있습니다. 공리 1모든 확률은 0보다 크고 1보다 작다.공리 2표본공간 S에서의 확률은 1이다.공리 3상호 배반인 임의의 사건 E_1, E_2... 등에 대해 다음식이 성립한다. 확률의 공리를 바탕으로 몇가지 명제를 도출할수 있습니다.A의 여사건의 확률은 1 - A의 확률과 같습니다.두 사건 A와 B에 대해 A U B의 확률은 A + B - A n B의 확률과 같습니다.두 사건 A와 B가 일어날 확률은 다음과 같습니다.사건 B가 일어났다는 전제 하에 A의 확률은 다음과 같습니다.B_1, B_2...가 전부 상호배반이고 합집합이 표..

안녕하세요. 이번 글에서는 다항계수와 그에 대한 증명에 대해 다뤄보겠습니다.다항계수(Multinomial Coefficients)는 여러 개의 항이 있는 다항식을 전개할 때 나타나는 계수를 의미합니다. 이항계수의 확장 개념이라고 생각해주시면 될것 같습니다.다항계수는 우선 다음과 같은 다항식의 전개에서 등장합니다: 위의 다항식을 전개하면 다음과 같이 전개할수 있습니다. 각 항의 계수는 다음과 같이 주어집니다.위의 이미지에서 등식의 왼쪽을 다항계수라 부르고, 이것은 곧 n에서 a_1, a_2, ... , a_k 각각의 개수를 뽑는 방법의 수를 의미합니다. 그럼 이제 다항계수를 증명해보도록 하겠습니다. 우선 다항식을 전개하면 위에도 넣었지만 다음과 같이 됩니다.여기서 각 항을 만들기 위해 x_1을 a_1번, ..

안녕하세요. 오늘은 이항정리와 증명에 대해 다뤄보겠습니다. 이항정리란 조합을 구하는 형식을 이용해 두 항의 다항식을 전개하는 방법입니다. 여기서 nCk는 조합을 구할때의 형식과 동일합니다. (이항정리라고도 부릅니다) 귀납법에 의한 증명n = 1일 경우 다음식이 성립합니다. n - 1에 대해 다음식이 성립한다고 가정할수 있습니다.이 식을 x와 y로 시그마를 분리하면 다음과 같습니다. 위 식에서 앞의 시그마의 k + 1 = i로 두고, 뒤의 시그마에서 k = 1로 두면 다음과 같습니다. 그럼 몇가지 문제를 통해 좀더 자세히 알아보겠습니다Q1) (x+y)^4를 전개하시오. 오늘은 이항정리와 증명에 대해 알아보았습니다.오늘도 긴 글 봐주셔서 감사합니다.