[미적분] 미분계수와 도함수

미분계수와 도함수는 미분이라는 개념과 관련된 수학적인 개념이다.

 

그렇다면 미분이 뭘까?

미분이란 함수의 변화율을 계산하는것이다.

 

오.. 그러면 미분계수를 알아보러 가자.

미분계수란 함수의 한 점에서의 변화율을 나타내는 값이다..??

 

 

흠.. 함수의 한점에서의 변화율이라는게 뭘까..

한 점에서의 변화율은 그 점에서의 순간 변화율을 의미한다. 즉, 한 점에서의 변화율은 그 점에서의 함수의 기울기를 나타낸다.

예를 들어, 함수 f(x)의 그래프가 x = a에서 x=a+델타x를 지난다고 가정해보자. 

이때 함수의 기울기는 f(x)의 그래프에서 a+델타x에서의 접선의 기울기와 같다. 

이 접선의 기울기를 f'(a)로 나타낼 수 있으며, 이 값은 함수 f(x)의 x = a에서의 미분계수이다.

출처: https://www.mathfactory.net/11110

오오.. 그러면 수식을 어떻게 만들어야 될까

함수 f(x)의 x = a에서의 미분계수는 다음과 같이 정의된다.

여기서 lim은 극한을 나타내며, h는 a에서의 작은 변화량을 의미한다.

이 식은 함수 f(x)의 x = a에서의 순간 변화율을 나타내며, 함수의 기울기와 같은 개념이다.

또한, 함수 f(x)의 도함수는 함수 f(x)의 미분계수를 모든 x에서 계산한 값입니다. 즉, f(x)의 도함수는 다음과 같이 정의된다.

f(x)의 도함수

여기서 lim은 극한을 나타내며, h는 x에서의 작은 변화량을 의미한다.

위의 식은 함수 f(x)의 모든 점에서의 순간 변화율을 나타내며, 함수의 기울기가 x값에 따라 어떻게 변하는지를 나타낸다.

도함수는 함수의 변화율을 계산하는 데에 사용된다.

예를 들어, 함수 f(x)가 주어졌을 때, f(x)의 최대값이나 최소값을 찾기 위해서는 도함수를 사용하여 f'(x) = 0인 x를 찾아야 한다. 또한, 함수의 그래프에서 기울기가 양수인 부분과 음수인 부분을 구분할 때에도 도함수를 사용한다.

마지막으로 미분계수와 도함수는 미적분학의 핵심 개념이며, 미분학의 이론을 이해하는 데에 필수다. 

 

다른 개념에서 미분계수와 도함수를 사용하는 예시를 들어보자면.. 다음과 같다.

미분계수는 함수의 변화율뿐만 아니라, 기울기와 관련된 다른 개념에서도 사용된다.

예를 들어, 함수 f(x)의 그래프에서 x = a에서의 접선의 기울기는 f'(a)와 같습니다.

또한, 미분계수는 함수의 극값과 최대값, 최소값 등의 특정 지점을 찾는 데에도 사용한다.

도함수는 함수의 기울기와 관련된 개념에서 널리 사용됩니다. 

예를 들어, 함수의 기울기가 양수인 경우, 함수의 값은 증가하는 것으로 해석할 수 있다. (1계 도함수 판정법)

반대로, 함수의 기울기가 음수인 경우, 함수의 값은 감소하는 것으로 해석할 수 있다. (1계 도함수 판정법)

따라서 도함수를 이용하여 함수의 기울기가 양수인 부분과 음수인 부분을 찾아낼 수 있다.

실생활에서 사용하는 예시를 들어보자면 다음과 같다.

경제학에서는 수요 곡선과 공급 곡선의 교차점에서의 기울기를 구해,

시장의 균형 가격과 수량을 구하는 데에 미분계수와 도함수를 사용한다.

또한, 물리학에서는 물체의 운동을 나타내는 함수에서 도함수를 구하여, 물체의 가속도와 운동 상태를 분석하는 데에 사용한다.

미분학을 열심히 공부해야겠다...