[미적분] 합, 차, 곱, 분수 미분 공식의 증명

오늘은 기본적인 미분공식의 증명에 대해 설명하겠습니다.

대표적인 미분 공식들은 다음 글에 있습니다.

[미적분] 미분공식

[미적분] 미분공식

 

합의 미분 공식

• 합의 미분 공식은 두 함수의 합의 미분이 각 함수의 미분의 합과 같다는 것을 나타냅니다.
• (g(x) + h(x))' = g'(x) + h'(x)

증명:

• f'(x) = lim(h->0) [(g(x+h) + h(x+h)) - (g(x) + h(x))]/h
• = lim(h->0) [(g(x+h) - g(x))/h + (h(x+h) - h(x))/h]
• = g'(x) + h'(x)

차의 미분 공식

• 차의 미분 공식은 두 함수의 차의 미분이 각 함수의 미분의 차와 같다는 것을 나타냅니다.
• (g(x) - h(x))' = g'(x) - g'(x)

증명:

• f'(x) = lim(h->0) [(g(x+h) - h(x+h)) - (g(x) - h(x))]/h
• = lim(h->0) [(g(x+h) - g(x))/h - (h(x+h) - h(x))/h]
• = g'(x) - h'(x)

곱의 미분 공식

• 곱의 미분 공식은 두 함수의 곱의 미분이 첫 번째 함수의 미분에 두 번째 함수를 곱한 것과 두 번째 함수의 미분에 첫 번째 함수를 곱한 것의 합과 같다는 것을 나타냅니다.
• (g(x) * h(x))' = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)

증명:

• f'(x) = lim(h->0) [(g(x+h) * h(x+h)) - (g(x) * h(x))/h]
• = lim(h->0) [(g(x+h) * h(x+h)) - (h(x+h) * g(x)) + (h(x+h) * g(x)) - (g(x) * h(x))]/h
• = lim(h->0) [h(x+h) - h(x)]/h * g(x+h) + [g(x+h) - g(x)]/h * h(x)
• = h'(x) * g(x) + g'(x) * h(x)

분수의 미분 공식

• 분수의 미분 공식은 두 함수의 비율의 미분이 분자의 미분에 분모를 곱한 것과 분모의 미분에 분자를 곱한 것의 차를 분모의 제곱으로 나눈 것과 같다는 것을 나타냅니다.
• (g(x) / k(x))' = (g'(x) * k(x)) - (g(x) * k'(x)) / (k(x))^2

증명:

• lim(h->0) [(g(x+h) / k(x+h)) - (g(x) / k(x)) / h]
• = lim(h->0) [(g(x+h) * k(x)) - (g(x) * k(x+h)) / h * k(x+h) * k(x)]
• = lim(h->0) [(k(x) * g(x+h)) - (k(x) * g(x)) + (k(x) * g(x)) - (g(x) * k(x+h)) / h * k(x+h) * k(x)]

 

이제 각 항을 h로 나눕니다.

• = lim(h->0) [k(x) * ((g(x+h) - g(x)) / h) - g(x) * ((k(x+h) - k(x)) / h)] / k(x+h) * k(x)

 

이제 각 항의 극한을 취합니다.

• = (g'(x) * k(x) - k'(x) * g(x)) / (k(x))^2